Топологии локальной сходимости по мере в алгебрах измеримых операторов

Abstract

Пусть алгебра фон Неймана $\mathcal{M}$ операторов действует в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, $\tau$ -- точный нормальный полуконечный след на $\mathcal{M}$, $S(\mathcal{M}, \tau )$ -- *-алгебра $\tau$-измеримых операторов. Получено достаточное условие положительности эрмитова оператора из $S(\mathcal{M}, \tau )$ в терминах топологии $t_{\tau l}$ $\tau$-локальной сходимости по мере. Доказано, что *-идеал $\mathcal{F}(\mathcal{M}, \tau )$ элементарных операторов является $t_{ \tau l}$-плотным в $S(\mathcal{M}, \tau )$. Если топология $t_{ \tau}$ локально выпукла, то $t_{ \tau l}$ локально выпукла; если топология $t_{ \tau l}$ локально выпукла, то топология $t_{w \tau l}$ слабо $\tau$-локальной сходимости по мере локально выпукла. Предложен метод построения $F$-нормированных идеальных пространств (далее $F$-НИП) на $(\mathcal{M}, \tau )$, исходя из заданного $F$-НИП, сохраняющий (при наличии у исходного) полноту, локальную выпуклость, локальную ограниченность, нормируемость. Пусть $\mathcal{X}$ и $\mathcal{Y}$ -- $F$-НИП на $(\mathcal{M}, \tau )$ и $A\mathcal{X}\subseteq \mathcal{Y}$ для некоторого оператора $A \in S(\mathcal{M}, \tau )$. Тогда мультипликатор ${\bf M}_A X=AX$, ${\bf M}_A : \mathcal{X}\to \mathcal{Y}$, непрерывен. В частности, при $\mathcal{X}\subseteq \mathcal{Y}$ естественное вложение $\mathcal{X}$ в $\mathcal{Y}$ непрерывно. Исследованы свойства убывающей последовательности $F$-НИП на $(\mathcal{M}, \tau )$.