Разности идемпотентов в $C^*$-алгебрах и квантовый эффект Холла. Нограниченные идемпотенты

Abstract

Пусть алгебра фон Неймана ${\mathcal M}$ операторов действует в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, $\tau$ -- точный нормальный полуконечный след на $\mathcal{M}$, $S(\mathcal{M}, \tau )$ -- ${}^*$-алгебра $\tau$-измеримых операторов и $S(\mathcal{M}, \tau )^{\text{id}}=\{A\in S(\mathcal{M}, \tau ):\; A=A^2\}$, $ L_1(\mathcal{M},\tau)$ -- банахово пространство $\tau$-интегрируемых операторов. Если $P, Q \in S(\mathcal{M}, \tau )^{\text{id}}$ и $P-Q\in L_1(\mathcal{M},\tau)$, то $\tau (P-Q)\in \mathbb{R}$. В частности, если $A=A^3\in L_1(\mathcal{M}, \tau )$, то $\tau (A)\in \mathbb{R}$. Пусть $A, B \in S(\mathcal{M}, \tau )$ являются трипотентами. Если $A-B\in L_1(\mathcal{M}, \tau )$ и $A+B\in \mathcal{M}$, то $\tau (A-B)\in \mathbb{R}$. Пусть $P, Q \in S(\mathcal{M}, \tau )^{\text{id}}$ с $P-Q\in L_1(\mathcal{M},\tau)$ и $P Q \in \mathcal{M}$. Тогда для всех $n\in \mathbb{N}$ имеем $(P-Q)^{2n+1}\in L_1(\mathcal{M},\tau)$ и $\tau ((P-Q)^{2n+1})=\tau (P-Q)\in \mathbb{R}$. Если $P, Q, R \in S(\mathcal{M}, \tau )^{\text{id}}$ с $P-Q, Q-R \in L_1(\mathcal{M},\tau)$ и операторы $P Q, QR, PR \in \mathcal{M}$, то $\tau ((P-R)^{2n+1})=\tau ((P-Q)^{2n+1})+\tau ((Q-R)^{2n+1})$ для всех $n\in \mathbb{N}$.