След и разности идемпотентов в $C^*$-алгебрах

Abstract

Пусть $\varphi$ -- след на унитальной $C^*$-алгебре $\mathcal{A}$, $ \mathfrak{M}_{\varphi}$ -- идеал определения следа $\varphi$ и идемпотенты $P, Q \in \mathcal{A}$ с $QP=P$. Если $Q \in \mathfrak{M}_{\varphi}$, то $P \in \mathfrak{M}_{\varphi}$ и $0 \leq \varphi (P) \leq \varphi (Q)$. Если $Q-P \in \mathfrak{M}_{\varphi}$, то $ \varphi (Q-P)\in \mathbb{R}^+$. Пусть трипотенты $A, B \in \mathcal{A}$. Если $AB=B$ и $A \in \mathfrak{M}_{\varphi}$, то $B \in \mathfrak{M}_{\varphi}$ и $0 \leq \varphi (B^2)\leq \varphi (A^2)(+\infty$. Пусть $\mathcal{A}$ -- алгебра фон Неймана. Тогда $ \varphi (|PQ-QP|)\leq \min \{\varphi (P), \varphi (Q), \varphi (|P-Q|) \}$ для всех проекторов $P, Q \in \mathcal{A}$. Для положительного нормального функционала $\varphi $ на алгебре фон Неймана $\mathcal{A}$ следующие условия эквивалентны: {\rm (i)} $\varphi $ является следом; {\rm (ii)} $\varphi (Q-P) \in \mathbb{R}^+$ для всех идемпотентов $P,Q \in \mathcal{A}$ с $QP=P $; {\rm (iii)} $ \varphi (|PQ-QP|) \leq \min \{\varphi (P), \varphi (Q) \}$ для всех проекторов $P,Q \in \mathcal{A}$; {\rm (iv)} $ \varphi (PQ+QP) \leq \varphi (PQP+QPQ) $ для всех проекторов $P,Q \in \mathcal{A}$.