Abstract:
Пусть $\varphi$ -- след на унитальной $C^*$-алгебре $\mathcal{A}$, $ \mathfrak{M}_{\varphi}$ --
идеал определения следа $\varphi$
и идемпотенты $P, Q \in \mathcal{A}$ с $QP=P$.
Если $Q \in \mathfrak{M}_{\varphi}$,
то $P \in \mathfrak{M}_{\varphi}$ и
$0 \leq \varphi (P) \leq \varphi (Q)$.
Если $Q-P \in \mathfrak{M}_{\varphi}$,
то
$ \varphi (Q-P)\in \mathbb{R}^+$.
Пусть трипотенты $A, B \in \mathcal{A}$.
Если $AB=B$ и $A \in \mathfrak{M}_{\varphi}$, то $B \in \mathfrak{M}_{\varphi}$ и
$0 \leq \varphi (B^2)\leq \varphi (A^2)(+\infty$.
Пусть $\mathcal{A}$ -- алгебра фон Неймана. Тогда
$ \varphi (|PQ-QP|)\leq \min \{\varphi (P), \varphi (Q), \varphi (|P-Q|) \}$ для всех проекторов $P, Q \in \mathcal{A}$.
Для положительного нормального функционала $\varphi $
на алгебре фон Неймана $\mathcal{A}$
следующие условия эквивалентны: {\rm (i)} $\varphi $ является следом;
{\rm (ii)} $\varphi (Q-P) \in \mathbb{R}^+$ для всех
идемпотентов $P,Q \in \mathcal{A}$ с $QP=P $;
{\rm (iii)} $ \varphi (|PQ-QP|) \leq \min \{\varphi (P), \varphi (Q) \}$
для всех проекторов
$P,Q \in \mathcal{A}$;
{\rm (iv)} $ \varphi (PQ+QP) \leq \varphi (PQP+QPQ) $
для всех проекторов
$P,Q \in \mathcal{A}$.
