СОВМЕСТНЫЙ МОДУЛЬ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИЙ И УСЛОВНО РЕГУЛЯРНЫЙ ПРИНЦИП ВЫБОРА

Abstract

Для отрезка I = [a,b] и метрического пространства (M,d) на множестве MI всех функций, действующих из I в M, определяется неубывающая последовательность псевдометрик {νn}, называемая совместным модулем вариации. Показано, что если две последовательности функций {fj} и {g j} из MI такие, что {fj} поточечно относи- тельно компактна на I, {g j} поточечно сходящаяся на I и limsupj→∞ νn(fj , g j) = o(n) при n → ∞, то {fj} содержит поточечно сходящуюся на I подпоследовательность, пре- дел которой является условно регулярной функцией.

Given a closed interval I = [a,b] and a metric space (M,d), we introduce a nondecreasing sequence {νn} of pseudometrics on MI (the set of all functions from I into M), called the joint modulus of variation. We show that if two sequences of functions {fj} and {g j} from MI are such that {fj} is pointwise relatively compact on I, {g j} is pointwise convergent on I, and limsupj→∞ νn(fj , g j) = o(n) as n → ∞, then {fj} admits a pointwise convergent subsequence whose limit on I is a conditionally regulated function.