ОБ УСЛОВИЯХ КОМПАКТНОСТИ В ПРОСТРАНСТВАХ ϕ(L)

Abstract

В работе приводятся критерии компактности множеств в пространствах ϕ(L), со- стоящих из классов эквивалентности измеримых функций f , для которых композиция ϕ◦ f суммируема на метрическом пространстве X с мерой, удовлетворяющей условию удвоения. Здесь ϕ : R → R - четная функция, положительная, непрерывная и возрас- тающая на (0,+∞), причем ϕ(+0) = 0, limt→∞ ϕ(t) = ∞. Кроме того, предполагается, что ϕ удовлетворяет ∆2-условию Орлича. Критерии компактности формулируются в терминах максимальных операторов, измеряющих локальную гладкость.

In this paper, we give criteria for the compactness of sets in the spaces ϕ(L) consisting of equivalence classes of measurable functions f for which the composite ϕ◦ f is summable on a metric space X with a measure that satisfies the doubling condition. Here ϕ : R → R is an even function, positive, continuous and increasing on (0,+∞), and ϕ(+0) = 0, limt→∞ ϕ(t) = ∞. In addition, it is assumed that ϕ satisfies the Orlicz ∆2-condition. The compactness criteria are formulated in terms of maximal operators measuring the local smoothness.