Abstract:
Исследована сходимость в банаховом
пространстве $L_1(\mathcal{M},\tau) $ интегрируемых (относительно следового состояния $\tau$
на алгебре фон Неймана ${\mathcal M}$) операторов. Введено понятие дисперсии
операторов из $L_2(\mathcal{M},\tau)$ и установлены его основные свойства.
Предложен критерий сходимости в
$L_2(\mathcal{M},\tau)$ в терминах дисперсии.
Показано, что для $X \in L_1(\mathcal{M},\tau) $ следующие условия эквивалентны: (i) $\tau (X)=0$;
(ii) $\|I+zX\|_1\geq 1$ для всех $z \in \mathbb{C}$.
Дополнен результат А.Р. Падманабхана (1979 г.) об одном свойстве нормы
пространства $L_1(\mathcal{M},\tau) $. Установлена сходимость в $L_2(\mathcal{M},\tau)$ мнимых компонент некоторых ограниченных последовательностей операторов из ${\mathcal M}$. Получены следствия о сходимости дисперсий.
