О сходимости интегрируемых операторов, прсоединенных к конечной алгебре фон Неймана

Abstract

Исследована сходимость в банаховом пространстве $L_1(\mathcal{M},\tau) $ интегрируемых (относительно следового состояния $\tau$ на алгебре фон Неймана ${\mathcal M}$) операторов. Введено понятие дисперсии операторов из $L_2(\mathcal{M},\tau)$ и установлены его основные свойства. Предложен критерий сходимости в $L_2(\mathcal{M},\tau)$ в терминах дисперсии. Показано, что для $X \in L_1(\mathcal{M},\tau) $ следующие условия эквивалентны: (i) $\tau (X)=0$; (ii) $\|I+zX\|_1\geq 1$ для всех $z \in \mathbb{C}$. Дополнен результат А.Р. Падманабхана (1979 г.) об одном свойстве нормы пространства $L_1(\mathcal{M},\tau) $. Установлена сходимость в $L_2(\mathcal{M},\tau)$ мнимых компонент некоторых ограниченных последовательностей операторов из ${\mathcal M}$. Получены следствия о сходимости дисперсий.