К теории tau-измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана. II

Abstract

Пусть алгебра фон Неймана M операторов действует в гильбертовом пространстве H, t - точный нормальный полуконечный след на M. Пусть S(M,t) -- *-алгебра всех t-измеримых операторов и X, Y лежат в S(M,t). Тогда (i) если |Y| меньше или равно |X|, то ker (X) лежит в ker (Y); (ii) если X обратим слева в M, то ran(X*)=H. Получено следующее обобщение теоремы Путнама (1951), см. также задачу 188 в книге Халмош~П. Гильбертово пространство в задачах, Мир, М., 1970: положительный самокоммутатор A*A-AA* (A из S(M, t)) не может иметь обратного в M. Пусть I - единица алгебры M и t (I) бесконечен, A, B из S(M, t ) и A=A^3. Тогда коммутатор [A, B] не может иметь вид a I +K, где a - ненулевое комплексное число и оператор K из S(M, t) t-компактен.