ПАРАНОРМАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В НОРМИРОВАННОЙ АЛГЕБРЕ

Abstract

Для нормированной алгебры A и k ∈ N введены и исследованы ∥? ∥-замкнутые классы Pk(A ) = {T ∈ A : ∥T k+1A∥ ≥ ∥T A∥ k+1 для всех A ∈ A с ∥A∥ = 1}. Показано, что P1(A ) ⊂ Pk(A ) для всех k ∈ N. Если T ∈ P1(A ), то T n ∈ P1(A ) для всех n ∈ N. Если A унитальна, U,V ∈ A такие, что ∥U∥ = ∥V ∥ = 1, V U = I и T ∈ Pk(A ), то U T V ∈ Pk(A ) для всех k ∈ N. В частности, если A унитальная C ∗ -алгебра и T ∈ Pk(A ), то U TU∗ ∈ Pk(A ) для всех изометрий U ∈ A и k ∈ N. Пусть A униталь- на, тогда 1) если элемент T ∈ P1(A ) обратим справа, то правый обратный элемент T −1 ∈ P1(A ); 2) при ∥I ∥ = 1 класс P1(A ) состоит из нормалоидных элементов; 3) ес- ли спектр элемента T ∈ P1(A ) лежит на единичной окружности, то ∥T X∥ = ∥X∥ для всех X ∈ A . Если A = B(H ), то класс P1(A ) совпадает с классом всех паранормаль- ных операторов в гильбертовом пространстве H .

For a normed algebra A and k ∈ N we introduce and investigate the ∥? ∥-closed classes Pk (A ) = {T ∈ A : ∥T k+1A∥ ≥ ∥T A∥ k+1 for all A ∈ A with ∥A∥ = 1}. We show that P1(A ) ⊂ Pk (A ) for all k ∈ N. If T ∈ P1(A ), then T n ∈ P1(A ) for all n ∈ N. If A is unital, U,V ∈ A are such that ∥U∥ = ∥V ∥ = 1, V U = I and T ∈ Pk (A ), then U T V ∈ Pk (A ) for all k ∈ N. In particular, if A is a unital C ∗ -algebra and T ∈ Pk (A ), then U TU∗ ∈ Pk (A ) for all isometries U ∈ A and k ∈ N. Let A be unital, then 1) if an element T ∈ P1(A ) is right invertible then the right inverse element T -1 ∈ P1(A ); 2) for ∥I ∥ = 1 the class P1(A ) consists of normaloid elements; 3) if the spectrum of an element T ∈ P1(A ) lies on unit circle then ∥T X∥ = ∥X∥ for all X ∈ A . If A = B(H ), then the class P1(A ) coincides with the set of all paranormal operators on a Hilbert space H .