Метод Рэлея-Ритца для нелинейных спектральных задач

Abstract

Рассмотрена нелинейная вариационная задача на собственные значения в бесконечномерном гильбертовом пространстве V, состоящая в нахождении чисел \lambda и ненулевых элементов u из V, удовлетворяющих уравнению a(u,v)=\lambda b(u,v) для любых элементов v из V. Доказано, что в случае, когда билинейная форма a является симметричной положительно определенной и ограниченной, билинейная форма b является симметричной положительной и вполне непрерывной, задача имеет последовательность положительных конечнократных собственных значений с единственной предельной точкой на бесконечности. Собственным значениям отвечает последовательность собственных элементов, образующая полную систему в пространстве V. Зададим семейство конечномерных подпространств V_h гильбертова пространства V, удовлетворяющее условию предельной плотности. Метод Рэлея-Ритца состоит в аппроксимации исходной бесконечномерной задачи конечномерной задачей в подпространстве V_h. Конечномерная аппроксимация осуществлялась с помощью метода конечных элементов. Доказано, что приближенная задача имеет конечную последовательность положительных собственных значений, которым отвечает последовательность собственных элементов, образующая полную систему в гильбертовом пространстве V_h. Для приближенных собственных значений и собственных элементов при достаточно малых h установлены оценки погрешности. При исследовании сходимости приближенной задачи использовалась вспомогательная параметрическая линейная задача на собственные значения.