СХЕМЫ ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ ДЛЯ ЗАДАЧИ РОБЕНА В СЛУЧАЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ

Abstract

Рассматриваются аппроксимации краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии с условиями III рода на границе, допускающими условия Дирихле и Неймана; cтаршие производные уравнения содержат возмущающий параметр $\varepsilon^2$, где $\varepsilon$ принимает произвольные значения из (0,1]. На примере ОДУ строятся и исследуются континуальные и разностные (на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в пограничных слоях) схемы метода декомпозиции области. % в случае последовательных и параллельных вычислений. Приводятся условия, обеспечивающие $\varepsilon$-равномерную сходимость решений с ростом числа итераций. Проведен сравнительный анализ эффективности схем декомпозиции для последовательных и параллельных вычислений. Получены оценки снизу и сверху для погрешности и числа итераций. Показано (в отличие от рассмотренного ранее параболического уравнения конвекции-диффузии), что увеличение числа решателей в параллельных схемах приводит к ускорению параллельного метода по сравнению с последовательным без потери точности решения декомпозируемой схемы. Результаты обобщаются на случай сингулярно возмущенного эллиптического уравнения на прямоугольнике.

We consider approximations to the boundary value problem for a singularly perturbed reaction-diffusion equation with the third-kind boundary conditions admitting both Dirichlet and Neumann conditions. The highest derivatives of the equation are multiplied by the perturbation parameter $\varepsilon^2\!$, where $\varepsilon$ takes any values in (0,1]. With an example of ODE, we construct and study continual and difference (on piecewise uniform grids condensing in the boundary layers) schemes based on an overlapping domain decomposition method. We give conditions that ensure the $\varepsilon$-uniform convergence of solutions with increasing the number of iterations. A comparative analysis of the efficiency of the decomposition schemes for sequential and parallel computations is made. Lower and upper bounds for the error and for the number of iterations are obtained. It is shown (in contrast to the parabolic convection-diffusion case considered earlier) that the growth in the number of solvers in the parallel schemes leads to the acceleration of the parallel method in comparison with the sequential one, without loss in the accuracy of the solution of the decomposed scheme. The results can be generalized to the case of a singularly perturbed elliptic equation on a rectangle.