ОПТИМАЛЬНЫЙ МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНОЙ КУСОЧНО ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Abstract

Рассматривается эллиптическое уравнение второго порядка в области, составленной из конечного числа ячеек произвольной неравномерной ортогональной сетки, являющихся подобластями декомпозиции. В качестве модельного взято уравнение в дивиргентной форме с диагональной матрицей коэффициентов, которые принимают произвольные положительные конечные значения в каждой ячейке этой сетки. Переменная ортогональная дискретизационная конечно-элементная сетка удовлетворяет только одному условию: на каждой ячейке декомпозиционной сетки она равномерная. Для решения конечно-элементной задачи предлагается итерационный метод декомпозиции области типа Дирихле-Дирихле, имеющий линейную сложность. Наиболее трудной проблемой при его создании является получение эффективного предобусловливателя-солвера для интерфейсного дополнения Шура. Она тесно связана с получением граничных норм для дискретно-гармонических конечно-элементных функций в узких прямоугольниках.

Second order elliptic equation is considered in the domain, which is the union of a finite number of cells of an arbitrary nonuniform orthogonal decomposition grid. For a model problem is taken the equation in the divergent form and the diagonal matrix of coefficients, which are arbitrary positive finite numbers in each cell. The variable orthogonal finite element discretization mesh has to satisfy only one condition: it is uniform in each cell. No other conditions on the coefficients of the elliptic equation and step sizes of the discretization and decomposition meshes are imposed. For the resulting finite element problem, we suggest the domain decomposition algorithm of linear total arithmetical complexity, not depending on any of the three factors contributing to the orthotropism of the discretization on subdomains. The main problem at designing such an algorithm is preconditioning of the inter-subdomain Schur complement. It is closely related to the derivation of boundary norms for discrete harmonic finite element functions on the shape irregular rectangles.