ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ВЕТВЛЕНИЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ХЕЛЕ-ШОУ О СТАЦИОНАРНО ДВИЖУЩЕМСЯ ПУЗЫРЕ // Ученые записки КФУ. Физико-математические науки 2012 N1

Abstract

Для стационарной задачи о продвижении пузыря в лотке Хеле-Шоу одно из проявлений нерегулярности предела исчезающе малых капиллярных сил состоит в вырождении решения - для идеализированной задачи вместо ожидаемого единственного решения получается целое семейство. С помощью численного анализа С.Танвир (S.Tanveer) показал, что учет капиллярных сил устраняет вырожденность решения, но не дал этому ясного объяснения. Кроме того, помимо главной ветви решения С.Танвир получил и другие. С целью выявления всех ветвей решения задачи о продвижении пузыря в настоящей работе сформулирована модифицированная задача по аналогии с подходом Ж.-М.Ванден-Брека (J.-M.Vanden-Broeck) к задаче о продвижении пальца. Проведен ее численный анализ, который показал, что в постановке с заданной площадью пузыря решение задачи единственно и совпадает с главной ветвью, полученной С.Танвиром. Никаких других ветвей решения не выявлено. Такое несогласование с результатами С.Танвира можно объяснить тем обстоятельством, что его методика допускает решения с неоднолистностью физической плоскости. Дано также объяснение факту устранения вырождения решения: у области течения имеется две характерные точки - бесконечности слева и справа, в которых область имеет заданные размеры. Обе эти величины определяются однократным интегрированием основного граничного уравнения. Поскольку решения неидеализированной задачи не могут быть симметричны относительно вертикальной оси, удовлетворить оба условия с помощью одной константы интегрирования невозможно. Возникает условие разрешимости.