Дифференциально-геометрические структуры, ассоциированные с лагранжианами, соответствующими скалярным физическим полям

Abstract

Доклад посвящен исследованию методом Картана-Лаптева дифференциально-геометрической структуры, ассоциированной с лагранжианом L, зависящим от функции z переменных t ,x1, . . . ,xn и ее частных производных. Такие лагранжианы рассматриваются в теоретической физике (в теории поля). При этом t интерпретируется как время, а x1, . . . ,xn как пространственные переменные. Состояние поля характеризуется функцией z(t ,x1, . . . ,xn) (функция поля), удовлетворяющей уравнению Эйлера, которое соответствует вариационной задаче для интеграла действия. В настоящей работе переменные t ,x1, . . . ,xn рассматриваются как адаптированные локальные координаты расслоения общего типа M над 1-мерной базой (при этом переменная t одновременно является локальной координатой на базе) и n−мерным типовым слоем. Если условиться называть t временем, а типовой слой расслоения M n−мерным пространством, то M можно назвать пространственно-временным расслоенным многообразием. Переменные t ,x1, . . . ,xn, z (т.е. переменные t ,x1, . . . ,xn с добавленной переменной z) мы рассматриваем как адаптированные локальные координаты в расслоении H над пространственно-временной расслоенной базой M. Лагранжиан L, будучи коэффициентом в подынтегральной дифференциальной форме вариационного интеграла действия, является относительным инвариантом, определенным на многообразии J 1H (многообразие 1-струй в расслоении H). В работе построен фундаментальный объект геометрической структуры, ассоциированной с лагранжианом L. Кроме того, построены порожденные лагранжианом L инвариант I , вектор Gi и двухвалентные тензоры Gjk и Gjk. Построен также относительный инвариант E (в докладе он назван эйлеровым относительным инвариантом) такой, что равенство E = 0 является инвариантной записью уравнения Эйлера для вариационного интеграла действия (следовательно можно не связывать уравнение Эйлера с вариационной задачей). В заключение рассмотрена связность в главном расслоении аффинной структуры над базой J 2H (многообразие 2-струй в расслоении H), порожденная лагранжианом L.