Деривации групповых алгебр

Abstract

В докладе изучается классический вопрос о сравнении алгебры Ли дериваций ассоциативной алгебрыA с ее подалгеброй внутренних дериваций, так называемая проблема дериваций Джонсона. Проблема дериваций формулируется следующим образом: все ли деривации являются внутренними? Эта задача рассматривалась не для всяких алгебр, а для групповых алгебр A¯= L1(G) некоторой группы G . Нас же интересует не вся банахова алгебраA¯= L1(G), атолько ее плотная подалгебраA =C[G] ⊂ A¯, состоящая, так сказать, из гладких элементов в алгебре A¯= L1(G), следуя терминологии А. Ко- на. Для групповой алгебры A = C[G] также можно сформулировать аналогичную задачу: описать алгебру всех внешних дериваций групповой алгебры A =C[G]. С каждой группой G мы связываем группоид G, ассоциированный с присоединенным действием группы G, который позволяет выразить деривации групповой алгебры C[G] в виде характеров на группоиде G. С каждым группоидом, задаваемым конечно представимой группой, можно, в свою очередь, связать граф Кэли и, более общим образом, двумерный комплекс Кэли. Мы доказываем, что алгебра Out (C[G]) = Der(C[G])/Int (C[G]), так называемая алгебра внешних дериваций, изоморфна одномерной группе когомологий комплекса Кэли группоида G с конечными носителями: Out (C[G]) ≈ H1f (K (G);R).