ОПЕРАТОРЫ НОРМЫ В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Abstract

Рассматриваются схемы с весами, аппроксимирующие уравнение теплопроводности с нелокальными граничными условиями $$ \begin{gathered} y_{t,i}^n - y_{\bar xx,i}^{(\sigma )} = 0,\quad i = 1,\,2,\, \ldots ,\,N - 1,\quad n = 0,\,1,\, \ldots , \hfill \\ y_i^0 = u_0 (x_i ), \quad y_0^{n + 1} = 0 ,\quad \frac{{h}} {2}y_{t,N}^n + y_{\bar x,N}^{(\sigma )} - \gamma y_{x,0}^{(\sigma )} = 0. \hfill \\ \end{gathered} $$ Здесь $\gamma > 1$ -- заданный параметр. Спектр основного разностного оператора содержит определенное число собственных значений в левой комплексной полуплоскости, что делают задачу неустойчивой во всем сеточном пространстве. Одним из этапов исследования устойчивости является построение оператора нормы $D$,то есть такого самосопряженного положительного оператора, для которого квадратичная форма $(Dy,y)$ не возрастает на решении разностной задачи. В настоящей работе демонстрируется один из способов построения и исследования операторов нормы, гарантирующих устойчивость схемы в соответствующих подпространствах.

Considered schemes with weights that approximate the heat equation with non-local boundary conditions $$ \begin{gathered} y_{t,i}^n - y_{\bar xx,i}^{(\sigma )} = 0,\quad i = 1,\,2,\, \ldots ,\,N - 1,\quad n = 0,\,1,\, \ldots , \hfill \\ y_i^0 = u_0 (x_i ), \quad y_0^{n + 1} = 0 ,\quad \frac{{h}} {2}y_{t,N}^n + y_{\bar x,N}^{(\sigma )} - \gamma y_{x,0}^{(\sigma )} = 0. \hfill \\ \end{gathered} $$ Here $\gamma > 1$ is the specified parameter. The spectrum of the primary difference operator contains a certain number of eigenvalues in the left complex half-plane, which makes the task unstable all over the net space. One of the stages of the study of stability is building operator norm $D$, then there is such a self-adjoint positive operator, for which the quadratic form $(Dy,y)$ does not increase on the solution of the difference problem. In this paper shows one way of constructing and investigating operators norms that guarantee the stability of the scheme in the corresponding subspaces