Контрпримеры малого размера для трехмерной задачи поиска устойчивых мэтчингов с циклическими предпочтениями

Abstract

Рассмотрим n мужчин, n женщин и n собак, каждый мужчина имеет полный список предпочтений женщин, каждая женщина полный список предпочтений собак и каждая собака имеет полный список предпочтений мужчин (мы рассматриваем так называемую 3D-CYC problem --- трехмерную задачу с циклическими предпочтениями). Трисочетание есть набор n непересекающихся троек, содержащих по одному представителю каждого гендера. Трисочетание называется устойчивым (так называемым stable matching (SM)), если не существует мужчины, женщины и собаки из разных троек предпочитающих друг друга партнерам в своих тройках. Гиптотеза Eriksson, Sostrand и Strimling (2006) состояла в том, что задача отыскания SM (так называемая 3DSM-CYC задача) всегда имеет решение. Постепенно гипотеза была доказана для всех n(6. Однако, Lam и Paxton (2019) предложили алгоритм конструирования матриц предпочтений для 3DSM-CYC размера n=90, при которых M не существует. Вопрос о существовании контрпримеров меньшего размера оставался открытым. В этой работе мы построим наглядный контрпример для 3DSM-CYC размера n=24.